Ordnungsrelation

Ordnungsrelation,

 

kurz Ordnung, eine zweistellige Relation auf einer Menge M; ist die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, so spricht man von einer Ordnungsrelation erster Art, ist die Relation dagegen antireflexiv, antisymmetrisch und transitiv, von einer Ordnungsrelation zweiter Art. Ordnungsrelationen erster Art werden meist mit dem Symbol ≦ dargestellt, da die Kleiner-gleich-Relation das typische Beispiel für sie ist. Hingegen werden Ordnungsrelationen zweiter Art meist durch symbolisiert; ihr typischer Vertreter ist die Kleinerrelation. Eine Menge, die mit einer Ordnungsrelation versehen ist, heißt geordnete Menge. Von einer streng oder linear geordneten Menge spricht man, wenn je zwei beliebige Elemente immer durch eine Ordnungsrelation verglichen werden können (Beispiel: ℕ mit ≦). Bei algebraischen Strukturen, die linear geordnet sind, spricht man von Anordnung. Ist eine Ordnungsrelation nicht linear, so heißt sie auch Halbordnung. Besitzt jede Teilmenge einer geordneten Menge ein kleinstes Element, so nennt man die Menge wohl geordnet; (ℕ, ≦) ist wohl geordnet, (ℝ, ≦) dagegen nicht, denn die Menge

 

besitzt kein kleinstes Element in ℝ. Gibt es zu je zwei Elementen a und b eines linear geordneten Körpers mit a < b immer eine natürliche Zahl n mit n · a > b, so nennt man diesen archimedisch geordnet. (zornsches Lemma)